Lottandi mönnum er best að lifa

Næsta laugardag verður lottópotturinn áttfaldur í fyrsta skipti. Það er því eðlilegt að margir spyrji sig hvort rétt sé að taka þátt. Stutta svarið við þeirri spurningu er: Já, svo lengi sem potturinn verður undir 139 milljónum. Til að átta sig betur á því svari er rétt að skerpa á nokkrum grundvallaratriðum lottóspilunar.

Þegar velja á fimm tölur úr fjörutíu talna potti má svara því á hversu marga vegu það má framkvæma með tvíliðustuðlinum

\[ {40 \choose 5} = \frac{40\cdot39\cdot38\cdot37\cdot36}{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}=658.008. \]

Líkurnar á því að vinna fyrsta vinning á einni röð eru því einn á móti 658.008. Þar sem hver röð kostar 130 kr. væri því mögulegt að tryggja sér fyrsta vinning með því að leggja út í þá fjárfestingu að kaupa allar mögulegar lottóraðir á litlar 85.541.040 kr. Við sjáum þó að þar sem lottóið greiðir aðeins 45% af miðakaupum í vinninga byrjar það ekki að borga sig fyrr en fyrri pottur hafi verið 47.047.572 kr, að því gefnu að enginn annar taki þátt.

En þá komum við að stóra vandamálinu. Hvernig er unnt að meta líkurnar á því að einhver annar vinni pottinn sem við þurfum svo að skipta á milli okkar? Er til eitthvað sem heitir „of stór lottópottur” og ef svo er hvernig er þá mögulegt að meta hvenær hann verður of stór?

Til að svara þessum spurningum þarf að kanna hvernig líkurnar á tilteknum fjölda vinningshafa breytast með því hversu margar raðir eru keyptar. Á myndinni hér að neðan eru líkurnar gefnar miðað við þá upphæð sem bætist við pottinn frá síðasta útdrætti, en þær fylgja Poisson-dreifingunni góðkunnu.

Poisson distribution

Þá er lítið til fyrirstöðu að vigta einfaldlega ábatann af því að kaupa allar raðir með líkunum á því að þurfa að skipta vinningnum með einhverjum öðrum. Þá er unnt að finna út vegna ávöxtun af þeim röðum sem keyptar eru. Á myndinni hér að neðan má sjá hvernig vegin ávöxtun er háð þeirri upphæð sem var fyrir í pottinum og þeirri upphæð sem bætist við pottinn.

weightedReturn

Hér má sjá að væntur ávinningur er mestur þegar potturinn síðast var mjög hár en fáir taka þátt, sem er kannski fremur ólíklegt að gerist. Af þessari mynd má einnig sjá að sé miðað við pottinn síðast, 94.291.820 kr. mega í mesta lagi bætast við 44.243.654 kr. til þess að það borgi sig að taka þátt. Þannig má heildarpotturinn mest verða 138.535.474 kr. áður en hættan á að þurfa að skipta honum með öðrum verður of mikil.

Greiningin hér að ofan gerir þó ráð fyrir að dreifingin á röðunum sem keyptar eru sé nokkuð jöfn. Staðreyndin er aftur á móti sú að þær tölur sem fólk velur sjálft eru ekki jafndreifðar. Til að mynda velur fólk oft afmælisdaga, sem geta aðeins verið tölur undir 32 og er þar að auki óeðlilega feimið við að velja samliggjandi tölur. Því gæti verið sniðug strategía að velja frekar samliggjandi tölur sem eru hærri en 31 og minnka þar með líkurnar á því að þurfa að deila pottinum. Sé tekið tillit þessara staðreynda má ef til vill segja að þær 138.535.474 kr. sem við fundum út að potturinn mætti vera stærstur í dæminu hér að ofan, séu í rauninni neðri mörk þess hvenær skynsamlegt sé að taka þátt með þeim tölum sem maður telur ólíklegt að aðrir komi til með að velja.

Þar sem áætlað er að potturinn verði töluvert undir 139 milljónum mun ég fjárfesta í nokkrum röðum á laugardaginn. Þær verða fengnar af random.org, þar sem hægt er að fá raunverulega slembnar lottóraðir á auðveldan hátt. Ég mun svo velja úr þær raðir sem frekar hafa samliggjandi tölur yfir 31 og veðja á þær.

Að endingu óska ég öllum gleðilegrar lottóspilunar á laugardaginn. Megi sá slembnasti vinna.

P.S. ég er hvorki tryggingastærðfræðingur né tölfræðingur þannig að allar ábendingar og athugasemdir eru vel þegnar.

Temperature in laminar flow along a semi-infinite plate

 A common problem in heat transfer is the influence of a constant-temperature semi-infinite plate on a constant free-stream velocity flow. The most straight forward approach to this problem is to introduce the similarity variable \( \eta \)

\[ \eta = \frac{y}{\sqrt{\nu x/u_{\infty}}}\]

and then assume that the nondimensional temperature \(\theta\) is a function of that variable

\[ \theta = \theta(\eta) = \frac{T_s-T}{T_s-T_{\infty}} \]

By applying this coordinate transformation the partial differential equation describing energy conservation simplifies to to the ODE

\[ \theta” + \frac{\text{Pr}}{2}\zeta\theta’ = 0 \]

where \(\zeta=\zeta(\eta)\) is the similarity solution to the hydrodynamic counterpart of this problem as given by the Blasius equation

\[ \zeta”’+\frac{1}{2}\zeta\zeta” = 0\]

Since the energy equation after the similarity transform is relatively simple it can be directly integrated in order to reveal the solution

\[ \theta(\eta) = \frac{\int_0^\eta \left[ \exp\left(-\frac{\text{Pr}}{2}\int_0^\eta \zeta d\eta \right)\right] d\eta}{\int_0^\infty \left[ \exp\left(-\frac{\text{Pr}}{2}\int_0^\eta \zeta d\eta \right)\right] d\eta} \]

as is shown in (William Kays, 2005). This relation between \( \eta \) and \( \theta\) can be seen for several values of the Prandtl number on figure 1.

A more physical interpretation of the results can be seen on figure 2 where the temperature profile has been plotted as a function of downstream distance at various distances from the plate. In this case the following assumptions are made, \( \text{Pr}=1 \), \( \nu=10^{-6}\text{m}^2/\text{s} \) and \( u_{\infty}=2.56\text{cm/s} \)

The code for generating the figures above can be downloaded here: Matlab code for generating temperature profiles

References

William Kays (2005). Convective Heat and Mass Transfer. New York: McGraw-Hill .^

The transient Theis solution

 The partial differential equation that describes hydraulic head in a confined aquifer over time is given as follows \[ \frac{\partial h}{\partial t} = \frac{T}{S}\nabla^2 h \]

 where \(T\) is the transmissivity and \(S\) is the storativity of the aquifer. The laplacian can be written in cylindrical coordinates

\[ \begin{align} \frac{\partial h}{\partial t}=\frac{T}{S}\nabla^2 h =& \frac{T}{S}\left( \frac{\partial^2 h}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial h}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 h}{\partial \theta^2}+\frac{\partial^2 h}{\partial z^2} \right) \\=& \frac{T}{S} \left( \frac{\partial^2 h}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial h}{\partial r} \right)=\frac{T}{S}\frac{\partial}{\partial r} \left( r\frac{\partial h}{\partial r} \right)\end{align}\]

where the flow is assumed to travel only in the radial direction.

It can also be assumed that at the initial time or at an infinite distance from the pumping well the hydraulic head is a constant \(h_0\)
\[
h(r,0) = h_0 \qquad \lim_{r\rightarrow \infty}h(r,t)=h_0
\]

Since the flow rate from the well is \(Q\) and there is only flow in radial direction in the reservoir mass conservation gives
\[ \begin{align}
&Q=KA\frac{\partial h}{\partial r}=Kb\cdot2\pi r\frac{\partial h}{\partial r}\\
\Rightarrow& \lim_{r\rightarrow 0} \left( r \frac{\partial h}{\partial r}\right) =\frac{Q}{2 \pi T}
\end{align} \]

It might be more convenient to descibe those equations in terms of drawdown, rather than hydraulic head, where they can be related by
\[
s=h_0-h \Rightarrow h=h_0-s
\]
Inserting this change of varibles into the partial differential equation that describes the hydraulic head gives
\[
\frac{\partial s}{\partial t} = \frac{T}{S}\left( \frac{\partial^2 s}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial s}{\partial r} \right)
\]
with the boundary conditions
\[
s(r,0) = 0 \qquad \lim_{r\rightarrow \infty}s(r,t)=0
\]
and
\[
\lim_{r\rightarrow 0} \left( r\frac{\partial s}{\partial r} \right) =-\frac{Q}{2\pi T}
\]

We then apply another change of variables as suggested by Theis in order to obtain a similarity solution
\[
u=\frac{r^2 S}{4Tt}\quad\text{and}\quad s=\frac{Q}{4\pi T}f(u)
\]
which by applying the chain rule gives
\[ \begin{align}
&\frac{\partial s}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial t}= \frac{T}{S} \left( \frac{\partial^2 s}{\partial u^2}\left( \frac{\partial u }{\partial r} \right)^2+\frac{\partial s}{\partial u}\frac{\partial^2 u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial s}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial r} \right) \\
\Rightarrow&-\frac{Q}{4\pi Tt}u\frac{\partial f}{\partial u}= \frac{T}{S}\cdot\frac{Q}{4\pi T} \left( \frac{4u^2}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+2\frac{u}{r^2}\frac{\partial f}{\partial u}+2\frac{u}{r^2}\frac{\partial f}{\partial u} \right)\\
\Rightarrow& \frac{\partial f}{\partial u}=-\frac{1}{u}\left( u\frac{\partial^2f}{\partial u^2}+\frac{\partial f}{\partial u} \right)\\
\Rightarrow&\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+\left(1+\frac{1}{u}\right) \frac{\partial f}{\partial u}=0
\end{align} \]
we then multiply through the equation by \(u e^u\) and get the following
\[ \begin{align}
&ue^u\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+(ue^u+e^u)\frac{\partial f}{\partial u}=0\\
\Rightarrow& \frac{\partial}{\partial u} \left( ue^u\frac{\partial f}{\partial u} \right)=0
\end{align} \]

The change of variables is then also applied to the boundary conditions such that
\[
\lim_{r\rightarrow\infty}s(r,t) = \lim_{t\rightarrow 0} s(r,t) = \lim_{u\rightarrow\infty}f(u)=0
\]
and
\[ \begin{align}
&r\frac{\partial s}{\partial r}=\frac{Qr}{4\pi T}\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{Qr}{4\pi T}\cdot\frac{2u}{r}\frac{\partial f}{\partial u}=-\frac{Q}{2\pi T}\\
\Rightarrow& \lim_{u\rightarrow 0} \left( u\frac{\partial f}{\partial u} \right) =-1
\end{align} \]

The equation now simplifies to an ordinary differential equation where the boundary conditions above can be applied as follows
\[ \begin{align}
&\frac{d}{d u}\left( ue^u \frac{d f}{d u} \right) = 0\\
\Rightarrow& ue^u\frac{df}{du}=C\\
\Rightarrow& \lim_{u\rightarrow 0}\left( e^u u\frac{df}{du} \right)=e^0\cdot(-1) = -1 \\ \Rightarrow& C=-1
\end{align} \]
which gives
\[
ue^u \frac{df}{du}=-1 \Rightarrow \frac{df}{du}=-\frac{e^{-u}}{u}
\]

The fundamental theorem of calculus states that
\[
\frac{d}{du}\int_a^u g(t) dt = g(u)
\]
where \(a\) is some point on the interval where \(g\) is continious. This gives
\[ \begin{align}
&\frac{df}{du}=\frac{d}{du}\int_{\infty}^u \frac{-e^{-t}}{t}dt=-\frac{e^{-u}}{u}\\
\Rightarrow& f(u) = \int_u^\infty\frac{e^{-t}}{t}dt
\end{align} \]
This function can not be expressed in terms of a finite sum of elementary functions and is known outside of hydrogeology literature as the exponential integral, or
\[
f(u)=W(u)=-Ei(-u)=E_1(u)
\]

The exponential integral, or the well function, can be witten as an infinite Taylor series
\[
E_1 (u) = W(u) = -\gamma-\ln u+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}u^k}{k\cdot k!}
\]
where \(\gamma\approx0.57721\) is the Euler-Mascheroni constant.